▷ Binært, decimal, oktalt og hexadecimalt system, hvad det er, og hvordan det fungerer

Hvis du er studerende inden for datalogi, elektronik eller nogen teknikgren, er en af ​​de ting, du skal vide, at udføre nummerering af systemkonvertering. Ved beregning er de anvendte nummersystemer forskellige fra det, vi traditionelt kender, ligesom vores decimalsystem. Dette er grunden til, meget sandsynligt, at hvis vi dedikerer os til området computing, programmering og lignende teknologi, bliver vi nødt til at kende de mest anvendte systemer, og hvordan vi kan vide, hvordan vi konverterer fra et system til et andet.

Indholdsindeks

Sådan udføres nummerering af systemkonverteringer

Det er især nyttigt at kende Decimal til Binary-konverteringssystemet og omvendt, da det er nummereringssystemet, som komponenterne i en computer fungerer direkte med. Men det er også meget nyttigt at kende det hexadecimale system, da det for eksempel bruges til at repræsentere farvekoder, taster og et stort antal koder fra vores team.

Nummereringssystemer

Et nummereringssystem består af repræsentationen af ​​et sæt symboler og regler, der giver os mulighed for at opbygge de gyldige tal. Med andre ord består det af at bruge en række afgrænsede symboler, som det vil være muligt at danne andre numeriske værdier uden nogen grænse.

Uden at gå for langt ind i matematiske definitioner, vil de systemer, der er mest brugt af mennesker og maskiner, være følgende:

Decimalt system

Det er et positionsnummereringssystem, hvor mængder er repræsenteret af den aritmetiske base af nummer ti.

Da basen er nummer ti, vil vi have evnen til at opbygge alle tallene ved hjælp af ti numre, der er dem, vi alle kender. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Disse tal vil blive brugt til at repræsentere placeringen af ​​magterne på 10 i dannelsen af ​​ethvert tal.

Så vi kunne repræsentere et tal på følgende måde i dette nummereringssystem:

Vi ser, at et decimaltal er summen af ​​hver værdi med basen 10 hævet til positionen 1, som hver sigt besætter. Vi vil huske dette ved konverteringer i andre nummersystemer.

Binært system

Det binære system er et nummereringssystem, hvor den aritmetiske base bruges. Dette system er det, der anvendes af computere og digitale systemer internt til at udføre absolut alle processer.

Dette nummereringssystem er kun repræsenteret af to cifre, 0 og 1, hvorfor det er baseret på 2 (to cifre). Med det vil alle værdikæder blive bygget.

Oktalt system

Som med de tidligere forklaringer, kan vi allerede forestille os, hvad det drejer sig om det octale system. Det octale system er nummereringssystemet, hvor den aritmetiske base 8 bruges, det vil sige, vi har 8 forskellige cifre til at repræsentere alle numrene. Disse vil være: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7.

Hexadecimalt system

Efter de foregående definitioner er decimalnummereringssystemet et positionsnummereringssystem baseret på tallet 16. På dette tidspunkt vil vi spørge os selv, hvordan skal vi få 16 forskellige numre, hvis for eksempel 10 er kombinationen af ​​to tal anderledes?

Nå, meget simpelt, vi opfandt dem, ikke os, men dem, der opfandt det pågældende system. De tal, vi har her, vil være: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F. dette udgør i alt 16 forskellige udtryk. Hvis du nogensinde har indstillet den numeriske kode for en farve, har den denne type nummerering, og det er derfor, du vil se, hvordan hvid, for eksempel, er repræsenteret som værdien FFFFFF. Vi vil se senere, hvad det betyder.

Konvertering mellem binært og decimalt system

Da det er det mest basale og let at forstå, vil vi starte med at konvertere mellem disse to nummereringssystemer.

Konverter nummer fra binær til decimal

Som vi så i det første afsnit, repræsenterer vi et decimaltal som summen af ​​værdierne ganget med kraften 10 til den position 1, den optager. Hvis vi anvender dette til et hvilket som helst binært tal med dets tilsvarende base, vil vi have følgende:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Men selvfølgelig, hvis vi udførte proceduren som i decimalsystemet, ville vi opnå andre værdier end 0 og 1, som er dem, som vi kun kan repræsentere i dette nummereringssystem.

Men netop dette vil være meget nyttigt at udføre konverteringen til decimalsystemet. Lad os beregne resultatet af hver værdi i dens felt:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Hvis vi foretager summen af ​​disse værdier, der er resultatet af hver celle, får vi den decimalværdi af den binære værdi.

Decimalværdien på 100110 er 38

Vi har kun været nødt til at multiplicere cifferet (0 eller 1) med dets base (2) hævet til position 1, det optager i figuren. Vi tilføjer værdierne, og vi får tallet i decimal.

Hvis du ikke er overbevist, udfører vi nu den modsatte proces:

Konverter decimal til binært

Hvis vi før gjorde en multiplikation af tallene og en sum for at bestemme decimalværdien, skal vi nu opdele decimaltallet med basen i det system, vi vil konvertere det til, i dette tilfælde 2.

Vi udfører denne procedure, indtil det ikke længere er muligt at gennemføre yderligere opdeling. Lad os se eksemplet på, hvordan det ville blive gjort.

nummer	38	19	9	4	2	1
division	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
hvile	0	1	1	0	0	1

Dette er resultatet af at gøre de successive opdelinger til et minimum. Du har måske allerede indset, hvordan dette fungerer. Hvis vi nu tager resterne af hver division og vender dets position, får vi den binære værdi af decimaltallet. Det vil sige, startede fra hvor vi sluttede divisionen baglæns:

Så vi har følgende resultat: 100110

Som vi kan se, er det lykkedes os at have nøjagtigt det samme antal som i begyndelsen af ​​sektionen.

Konverteringsfraktioneret decimaltal til binært

Som vi ved, er der ikke kun hele decimaltal, men vi kan også finde reelle tal (fraktioner). Og som et nummereringssystem skal det være muligt at konvertere et tal fra decimalsystemet til det binære system. Vi ser, hvordan vi gør det. Lad os tage nummeret 38.375 som et eksempel

Hvad vi skal gøre, er at adskille hver af delene. Vi ved allerede, hvordan man beregner heltalets del, så vi går direkte til decimaldelen.

Proceduren vil være som følger: vi skal tage decimaldelen og multiplicere den med basens system, det vil sige 2. Resultatet af multiplikationen skal vi multiplicere det igen, indtil vi får en brøkdel af 0. Hvis der ved multiplikationen udføres et fraktionstal med en heltal, er vi kun nødt til at tage brøkdelen for den næste multiplikation. Lad os se på eksemplet for at forstå det bedre.

nummer	0375	0, 75	0, 50
multiplikation	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Hele delen	0	1	1

Som vi kan se, tager vi decimaldelen og multiplicerer den igen, indtil vi når 1, 00, hvor resultatet altid vil være 0.

Resultatet af 38.375 binært vil derefter være 100 110.011

Men hvad sker der, når vi aldrig kan nå et resultat på 1, 00 i processen? Lad os se eksemplet med 38, 45

nummer	0.45	0, 90	0, 80	0.60	0, 20	0, 40	0, 80
multiplikation	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Hele delen	0	1	1	1	0	0	1

Som vi kan se , bliver processen fra 0, 80 periodisk, det vil sige, vi afslutter aldrig proceduren, fordi tallene fra 0, 8 til 0, 4 altid vises. Derefter vil vores resultat være en tilnærmelse af decimaltallet, jo længere vi går, jo større nøjagtighed får vi.

Altså: 38.45 = 100 110, 01110011001 1001…

Lad os se, hvordan du gør omvendt proces

Konverteringsfraktioneret binært tal til decimal

Denne proces vil blive udført på samme måde som den normale basisændring, bortset fra, at kraften fra komma er negative. Lad os bare tage heltaldelen af ​​det forrige binære nummer:

0	1	1	1	0	0	1	...
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0, 25	1 · 2 -3 = 0, 125	1 · 2 -4 = 0, 0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0, 0078125	…

Hvis vi tilføjer resultaterne, får vi:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Hvis vi fortsatte med at udføre operationer, ville vi komme nærmere og tættere på den nøjagtige værdi af 38, 45

Konvertering mellem octal system og binært system

Nu fortsætter vi med at se, hvordan vi udfører konverteringen mellem to systemer, der ikke er decimal, for dette tager vi det octale system og det binære system, og vi vil udføre den samme procedure som i de foregående sektioner.

Konverter nummer fra binært til oktalt

Konverteringen mellem begge nummereringssystemer er meget enkel, fordi basen i det octale system er den samme som i det binære system, men hævet til magten på 3, 2 ³ = 8. Så baseret på dette, hvad vi vil gøre, er at gruppere de binære termer i grupper på tre, der starter fra højre til venstre og konverterer direkte til et decimalantal. Lad os se eksemplet med tallet 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Vi grupperer hvert tredje cifre og foretager konverteringen til decimal. Slutresultatet bliver 100110 = 46

Men hvad nu hvis vi ikke har perfekte grupper på 3? For eksempel 1001101, vi har to grupper på 3 og en af ​​1, lad os se, hvordan vi går frem:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Efter proceduren tager vi grupperne fra højre for begrebet, og når vi kommer til slutningen udfylder vi så mange nuller som nødvendigt. I dette tilfælde har vi brug for to for at afslutte den sidste gruppe. Så 1001101 = 115

Konverter oktaltal til binært

Proceduren er så enkel som at gøre det modsatte, det vil sige at gå fra binær til decimal i grupper på 3. Lad os se det med tallet 115

værdi	1	1	5
division	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
hvile	1	0	0	1	0	0	1	0	1
gruppe	001	001	101

På denne måde ser vi, at 115 = 001001101 eller hvad der er det samme 115 = 1001101

Konvertering mellem octal system og decimal system

Nu skal vi se, hvordan vi udfører proceduren for at gå fra det octale talsystem til decimalet og omvendt. Vi vil se, at proceduren er nøjagtigt den samme som i decimal- og binærsystemet, kun vi skal ændre basen til 8 i stedet for 2.

Vi vil udføre procedurerne direkte med vilkår med en brøkdel.

Konverter decimal til octal

Ved at følge proceduren for den decimal-binære metode udfører vi den med eksemplet på 238.32:

Hele delen. Vi deler ved basen, der er 8:

nummer	238	29	3
division	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
hvile	6	5	3

Decimal del multipliceres vi med basen, der er 8:

nummer	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
multiplikation	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Hele delen	2	4	3	6	5	…

Det opnåede resultat er som følger: 238.32 = 356.24365…

Konverter oktaltal til decimal

Nå, lad os gøre den modsatte proces. Lad os give oktaltallet 356.243 til decimal:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0, 25	4 · 8 -2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

Resultatet er: 192 + 40 + 6, 0.25 + 0.0625 + 0.005893 = 238.318

Konvertering mellem hexadecimalt system og decimalsystem

Vi afslutter derefter med konverteringsprocessen mellem det hexadecimale nummereringssystem og decimalsystemet.

Konverter decimal til hexadecimal

Efter proceduren for den decimal-binære og decimal-oktale metode udfører vi den med eksemplet på 238.32:

Hele delen. Vi deler ved basen, som er 16:

nummer	238	14
division	÷ 16 = 14	-
hvile	E	E

Decimal del multipliceres vi med basen, som er 16:

nummer	0, 32	0, 12	0, 92	0, 72	0, 52	…
multiplikation	* 16 = 5.12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Hele delen	5	1	E	B	8	…

Det opnåede resultat er som følger: 238.32 = EE, 51EB8…

Konverter nummer fra hexadecimal til decimal

Nå, lad os gøre den modsatte proces. Lad os give det hexadecimale tal EE, 51E til decimal:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

Resultatet er: 224 + 14, 0.3125 + 0.003906 + 0.00341 = 238.3198…

Nå, dette er de vigtigste måder at ændre basen fra et nummereringssystem til et andet. Systemet er anvendeligt på et system i en hvilken som helst base og decimalsystemet, selvom disse er de mest anvendte inden for computerfeltet.

Du kan også være interesseret i:

Hvis du har spørgsmål, skal du lade dem ligge i kommentarerne. Vi vil forsøge at hjælpe dig.